El donuts de Poincaré

  En 2003 el matemático ruso Grigori Perelmán resolvió uno de los siete problemas matemáticos del milenio propuestos por la Fundación Clay. El único hasta ahora. Se trata de la conjetura que hiciera Poincaré en 1904 y consistía en que toda superficie 3-variedad compacta o simplemente convexa en un espacio de dimensión 4 debía ser homeomorfa a la 3-esfera, tal como ocurre en dimensión 3, para una 2-esfera. La superficie compacta o simplemente convexa es aquella en que cualquier lazo sobre la superficie se puede estrechar continuamente y sin salirse de la misma hasta acabar en un punto. El homeomorfismo sirve para trasladar propiedades topológicas de una superficie dada a otra más sencilla de estudiar.

  Me pregunto si es posible un tipo de homeomorfismo para superficies no compactas, es decir, las que serían roscos o combinaciones de roscos para dimensión 3. Las superficies en topología se pueden clasificar por su número de agujeros. Aquí el lazo sobre la superficie, al estrecharse, no acabaría en un punto, al encontrar como obstáculo insalvable el agujero.

  O si, rizando el rizo, no podría encontrarse un homeomorfismo entre una superficie no compacta en una dimensión dada y una superficie compacta en una dimensión distinta. Ello significaría que el insalvable agujero por el lazo que se estrecha en una dimensión se podría salvar hasta conseguir el paulatino colofón hacia el punto en la otra dimensión.

  Me comeré unos donuts mientras lo pienso.